Nierówności zawierające pierwiastki
Nierówności zawierające pierwiastki rozwiązujemy podobnie jak inne nierówności rozpoczynając od ustalenia dziedziny, w której mogą być zawarte rozwiązania. Dziedziną nierówności jest zbiór wszystkich liczb, dla których nierówność ma sens. Dla liczb z dziedziny wszystkie funkcje zawarte w nierówności mają sens. Nierówność może być dla liczb z dziedziny prawdziwa lub może być nieprawdziwa. Istotne jest, by można było wykonać wszystkie operacje zawarte we wszystkich wyrażeniach w obu stronach nierówności.
Rozwiązać nierówność oznacza znaleźć zbiór wszystkich wartości zmiennej, dla których nierówność jest prawdziwa.
Zbiór rozwiązań nierówności musi się mieścić w zbiorze wartości, dla których nierówność może być prawdziwa lub fałszywa, ale można podstawić te wartości, by poszczególne formuły nierównosci miały sens.
Oba wyrażenia znajdujące się pod pierwiastkami muszą być nieujemne - dodatnie lub równe zero.
Rozwiązanie obu nierówności daje warunek na dziedzinę nierówności - odpowiednik dziedziny funkcji.
Nierówność zawiera dwa pierwiastki. Czy trzeba będzie w jakiś sposób "usunąć" te pierwiastki?
Rozwiązanie nierówności
Rozwiązanie zaczynamy od określenia dziedziny nierówności - oba wyrażenia znajdujące się w pierwiastkach muszą być nieujemne równocześnie. Dziedzina nierówności to zbiór wszystkich liczb, dla których nierówność ma sens - może być prawdziwa lub może być nieprawdziwa. Ważne jest, by mozna było wyknać wszystkie operacje zawarte w obu stronach nierówności.
Warunek końcowy to część wspólna dwóch podzbiorów określonych przez dwa pierwiastki.
Nierówność spełniona jest dla dowolnych wartości x z dziedziny nierówności.
W tym zadaniu rozwiązanie nierówności sprowadziło się do określenia dziedziny nierówności.
Zasady stosowane przy rozwiązywaniu nierówności
Określamy dziedzinę uwzględniając warunki jakie muszą spełniać funkcje występujące w wyrażeniach tworzących nierówność.
Inny przykład nierówności
Nierówność wydaje się byc banalna, ale procedury rozwiazywania nierównościmuszą być zachowane.
Zauważmy, że w ten sposób udowodnilismy, że prawdziwa jest nierówność odwrotna.
Dziedzina lewej strony jest zbiorem liczb rzeczywistych bez otwartego zbioru (przedzialu) liczb od -1 do 1.
Dziedziną prawej strony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Dziedzina lewej strony zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych czyli w dzidzinie prawej strony.
Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych bez zbioru liczb większych od minus jeden ale mniejszych od plus jeden.
Dalej wykorzystujemy własności funkcji tworzących nierównośc dla zmiennych z dzidziny nierówności.
W ostatecznym efekcie otrzymujemy nierówność fałszywą oznaczającą, że wyjściowa nierówność też jest fałszywea dla wszystkich argumentów należących do dziedziny nierówności.
Możemy więc wnioskować, że nierówność przeciwna (po zmianie zwrotu nierówności) jest prawdziwa dla wszystkich liczb należących do dziedziny nierówności.
Inny przykład nierówności zawierającej wyrażenia niewymierne.
Dziedziną lewej strony jest zbiór liczb równych jeden lub większych od liczby jeden.
Dziedziną prawej strony jest zbiór liczb równych trzy lub większych od liczby trzy.
Dziedziną nierówności jest część wspólna tych dwóch zbiorów.
Dziedzina prawej strony nierówności jest podzbiorem lewej strony nierówności czyli dziedziną nierówności jest dziedzina prawej strony - zbiór liczb nie mniejszych niz trzy (inaczej liczba trzy i liczby większe od liczby trzy).
Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby wieksze od liczby trzy czyli z dziedziny nierównosci trzeba było odrzucic liczbę trzy.
Obliczenia były bardzo proste ponieważ dla dziedziny nierówności obie strony są dodatnie i nie trzeba rozpatrywać róznych wariantów.
Inny przykład nierówności zawierającej wyrażenia niewymierne.
9-2011-12-19
